En este volumen Klein trata siempre, tal y como comenta en el prólogo, “de combinar la intuición geométrica con la precisión de las fórmulas aritméticas”. En la primera parte se abordan temas relacionados con la aritmética, entre ellos el cálculo con números naturales, una primera ampliación del concepto de número, las propiedades especiales de los enteros y los números complejos. Los temas propios del álgebra integran la segunda parte, que considera las ecuaciones reales con incógnitas reales y las ecuaciones en el campo complejo. La última parte explora los elementos del análisis, con un estudio de las funciones logarítmicas, exponenciales y goniométricas, y el cálculo infinitesimal.